一次函数与二元一次方程的关系【二元一次方程与一次函数,——,初中数学第六册教案】


 北师大版八年级上第七章二元一次方程组第六节 202页----204页

《二元一次方程与一次函数》教学设计

            鹿泉市上庄镇中学     张亚茹

教学目标

1.知识与能力目标

(1)二元一次方程和一次函数的关系。

(2)二元一次方程组的图象解法。

(3)通过学生的思考和操作,力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组的图象解法。同时培养学生初步的数形结合的意识和能力。

2.情感态度价值观目标

通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强新旧知识的联系,培养学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣,使学生体验数学活动充满探索与创造。

教材分析

前面已经分别学习了一次函数和二元一次方程组,这节课研究二元一次方程组(数)和一次函数(形)的关系,是这两章知识的综合运用。强化了部分与整体的内在联系,知识与知识的内在联系,并为今后解析几何的学习奠定基础。

教学重点

1、二元一次方程和一次函数的关系。

2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

教学难点

  方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。

教学方法

 学生操作------自主探索的方法

学生通过自己操作和思考,结合新旧知识的联系,自主探索出方程与图象之间的对应关系,以引入二元一次方程组的图象解法,同时也建立了“数”----二元一次方程组和“形”----函数的图象(直线)之间的对应关系,培养了学生数形结合的意识和能力。

教学过程

一.   故事引入

迪卡儿的故事------蜘蛛给予的启示

十七世纪法国数学家迪卡儿有一次生病卧床,他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着丝左右爬行。迪卡儿看到蜘蛛的“表演”猛的机灵一动。他想,可以把蜘蛛看成一个点,它可以上、下、左、右运动,能不能把蜘蛛的位置用一组数确定下来呢?

在蜘蛛爬行的启示下,迪卡儿创建了直角坐标系,在坐标系下几何图形(形)和方程(数)建立联系。迪卡儿坐标系起到了桥梁和纽带的作用。从而我们可以把图形化成方程来研究,也可以用图象来研究方程。

这节课我们就来研究二元一次方程(数)与一次函数(形)的关系。

二.   尝试探疑

1、Y=x+1

你们把我叫一次函数,我也是二元一次方程啊!这是怎么回事,你知道吗?

学生先是疑惑:方程就是方程,函数就是函数,它们能有什么联系呢?然后通过思考、交流,最后恍然大悟。初步感受一次函数与二元一次方程的内在联系。

2、函数y=x+1上的任意一点的坐标是否满足方程x-y=-1

    以方程x-y=-1的解为坐标的点在不在函数y=x+1   的图象上?方程x-y=-1与函数y=x+1有何关系?

学生会迫不及待地拿起笔来计算。从函数y=x+1图象上找几个点看它们的坐标是否满足方程x-y=-1。结果都满足。然后学生就会自主和同伴交流,问一问同伴函数y=x+1图象上的点满足不满足方程x-y=-1。结果也都满足。这样他们就会搭成共识:函数y=x+1上的任意一点的坐标都满足方程 x-y=-1。                        

然后学生会用同样的方法得出另一个结论:以方程x-y=-1的解为坐标的点一定在函数y=x+1的图象上。然后开始思索函数y=x+1和方程x-y=-1到底有何关系呢?通过交流自动得出结论:以方程x-y=-1的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=x+1的图象相同。

3.在同一坐标系下,化出y=x+1y=4x-2的图象,他们的交点坐标是什么?

方程组y=x+1的解是什么?二者有何关系?

       y=4x-2   

 

学生根据画图象的方法画出两函数图象,画出交点坐标。用消元法解出方程组的解。学生会大吃一惊:两者出奇地相近或者干脆就相同。这是怎么回事呢?然后开始探究二者关系。通过交流、讨论得出结论:函数y=x+1y=4x-2的交点坐标就是由两个函数表达式组成的方程组

y=x+1        的解。

          Y=4x-2

教师作最后总结:因为函数和方程有以上关系,所以我们就可以用图象法解决方程问题,也可以用方程的方法解决图象问题。

三.   方程与函数关系的应用

解方程组  x-2y=-2      

            2x-y=2

    学生会很快的用消元法解出来。

老师发问:谁还有其他的方法?如果有,鼓励学生大胆提出。并给予口头表扬。如果没有人用其他的方法,老师提出问题:你能不能用图象的方法求方程组的解呢?这时,学生就会去探索新的思路、方法。

     一回忆方程与函数的关系,有了!方程组的解不就是两个方程变形得到的两个函数图象的交点坐标吗?学生就会迅速动笔用这种方法把方程解出来。作完之后,互相交流。学生总结一下做题步骤:

1.把两个方程都化成函数表达式的形式。

       2.画出两个函数的图象。

       3.画出交点坐标,交点坐标即为方程组的解。

问题又出来了,有的同学的解是    x=2 有的同学的解是       x=2.1                  y=2.1

            y=1.9   有的同学的解是……虽然都和消元法得到的结果相近,但各不相同。

老师提问:你能说一下用图象法解方程组的不足吗?

学生争先恐后的回答:用这种方法求的解是近似值。不准确。学生提出疑问:既然不准确,那学习它有什么用呢?用消元法就足够了!

教师解释一下:在现实生活和生产中,我们会遇到特别复杂的方程,用消元法解不太容易,我们就可以用电脑绘制成函数图象,很容易找出交点坐标。教师可以用Z+Z智能教育平台演示一下。

[点评]用作图象的方法解方程组,这体现了两个知识点的内在联系。学数学知识,探索知识点之间的联系,可起到化新为旧的作用,达到事半功倍的效果。逐步让学生学会这种学习新知识的技巧。

四.   引申

方程组   x+y=2

           x+y=5   解的情况如何?你能从函数的角度解释一下吗?

学生用消元法开始解方程组,结果无解,怎么回事呢?学生会尝试运用方程组的图象解法。画出两个函数图象。答案有了!图象是平行的,没有交点。所以方程组无解了。哇!太神奇了!方程的问题可以用图象的方法解决了。

[点评]因为有了上面的用作图象法解方程组,在这里,学生就会自觉地从函数的角度探究方程的问题,初步具有了数形结合的意识和能力。

五.   课后小结

    本节课我们通过操作和思考,揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系,从而引入二元一次方程组的图象解法,同时也建立了“数”----二元一次方程与“形”------函数图象之间的对应关系,培养了学生初步的数形结合的意识和能力。

 

 

六.   作业

1.    用作图象法解方程组2x+y=4

                     2x-3y=12

        2.如图,直线L、L相交于点 A,试求出A点坐标。

 

        

         

教学反思

 这节课由故事引入,激发了学生极大的学习兴趣。然后提出了三个尖锐的问题,让学生尝试探索,在探索中既体会到了探索的艰辛,又体会到了成功的喜悦。在应用和引申过程中,尽量让学生自主的发现问题,自主的解决问题。学生在紧张、愉快中完成了这节课的学习。

 北师大版八年级上第七章二元一次方程组第六节 202页----204页

《二元一次方程与一次函数》教学设计

            鹿泉市上庄镇中学     张亚茹

教学目标

1.知识与能力目标

(1)二元一次方程和一次函数的关系。

(2)二元一次方程组的图象解法。

(3)通过学生的思考和操作,力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组的图象解法。同时培养学生初步的数形结合的意识和能力。

2.情感态度价值观目标

通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强新旧知识的联系,培养学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣,使学生体验数学活动充满探索与创造。

教材分析

日立彩票前面已经分别学习了一次函数和二元一次方程组,这节课研究二元一次方程组(数)和一次函数(形)的关系,是这两章知识的综合运用。强化了部分与整体的内在联系,知识与知识的内在联系,并为今后解析几何的学习奠定基础。

教学重点

1、二元一次方程和一次函数的关系。

2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

教学难点

  方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。

教学方法

 学生操作------自主探索的方法

学生通过自己操作和思考,结合新旧知识的联系,自主探索出方程与图象之间的对应关系,以引入二元一次方程组的图象解法,同时也建立了“数”----二元一次方程组和“形”----函数的图象(直线)之间的对应关系,培养了学生数形结合的意识和能力。

教学过程

一.   故事引入

迪卡儿的故事------蜘蛛给予的启示

十七世纪法国数学家迪卡儿有一次生病卧床,他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着丝左右爬行。迪卡儿看到蜘蛛的“表演”猛的机灵一动。他想,可以把蜘蛛看成一个点,它可以上、下、左、右运动,能不能把蜘蛛的位置用一组数确定下来呢?

在蜘蛛爬行的启示下,迪卡儿创建了直角坐标系,在坐标系下几何图形(形)和方程(数)建立联系。迪卡儿坐标系起到了桥梁和纽带的作用。从而我们可以把图形化成方程来研究,也可以用图象来研究方程。

这节课我们就来研究二元一次方程(数)与一次函数(形)的关系。

二.   尝试探疑

1、Y=x+1

你们把我叫一次函数,我也是二元一次方程啊!这是怎么回事,你知道吗?

学生先是疑惑:方程就是方程,函数就是函数,它们能有什么联系呢?然后通过思考、交流,最后恍然大悟。初步感受一次函数与二元一次方程的内在联系。

2、函数y=x+1上的任意一点的坐标是否满足方程x-y=-1

    以方程x-y=-1的解为坐标的点在不在函数y=x+1   的图象上?方程x-y=-1与函数y=x+1有何关系?

学生会迫不及待地拿起笔来计算。从函数y=x+1图象上找几个点看它们的坐标是否满足方程x-y=-1。结果都满足。然后学生就会自主和同伴交流,问一问同伴函数y=x+1图象上的点满足不满足方程x-y=-1。结果也都满足。这样他们就会搭成共识:函数y=x+1上的任意一点的坐标都满足方程 x-y=-1。                        

然后学生会用同样的方法得出另一个结论:以方程x-y=-1的解为坐标的点一定在函数y=x+1的图象上。然后开始思索函数y=x+1和方程x-y=-1到底有何关系呢?通过交流自动得出结论:以方程x-y=-1的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=x+1的图象相同。

3.在同一坐标系下,化出y=x+1y=4x-2的图象,他们的交点坐标是什么?

方程组y=x+1的解是什么?二者有何关系?

       y=4x-2   

 

学生根据画图象的方法画出两函数图象,画出交点坐标。用消元法解出方程组的解。学生会大吃一惊:两者出奇地相近或者干脆就相同。这是怎么回事呢?然后开始探究二者关系。通过交流、讨论得出结论:函数y=x+1y=4x-2的交点坐标就是由两个函数表达式组成的方程组

y=x+1        的解。

          Y=4x-2

教师作最后总结:因为函数和方程有以上关系,所以我们就可以用图象法解决方程问题,也可以用方程的方法解决图象问题。

三.   方程与函数关系的应用

解方程组  x-2y=-2      

            2x-y=2

    学生会很快的用消元法解出来。

老师发问:谁还有其他的方法?如果有,鼓励学生大胆提出。并给予口头表扬。如果没有人用其他的方法,老师提出问题:你能不能用图象的方法求方程组的解呢?这时,学生就会去探索新的思路、方法。

     一回忆方程与函数的关系,有了!方程组的解不就是两个方程变形得到的两个函数图象的交点坐标吗?学生就会迅速动笔用这种方法把方程解出来。作完之后,互相交流。学生总结一下做题步骤:

1.把两个方程都化成函数表达式的形式。

       2.画出两个函数的图象。

       3.画出交点坐标,交点坐标即为方程组的解。

问题又出来了,有的同学的解是    x=2 有的同学的解是       x=2.1                  y=2.1

            y=1.9   有的同学的解是……虽然都和消元法得到的结果相近,但各不相同。

老师提问:你能说一下用图象法解方程组的不足吗?

学生争先恐后的回答:用这种方法求的解是近似值。不准确。学生提出疑问:既然不准确,那学习它有什么用呢?用消元法就足够了!

教师解释一下:在现实生活和生产中,我们会遇到特别复杂的方程,用消元法解不太容易,我们就可以用电脑绘制成函数图象,很容易找出交点坐标。教师可以用Z+Z智能教育平台演示一下。

[点评]用作图象的方法解方程组,这体现了两个知识点的内在联系。学数学知识,探索知识点之间的联系,可起到化新为旧的作用,达到事半功倍的效果。逐步让学生学会这种学习新知识的技巧。

四.   引申

方程组   x+y=2

           x+y=5   解的情况如何?你能从函数的角度解释一下吗?

学生用消元法开始解方程组,结果无解,怎么回事呢?学生会尝试运用方程组的图象解法。画出两个函数图象。答案有了!图象是平行的,没有交点。所以方程组无解了。哇!太神奇了!方程的问题可以用图象的方法解决了。

[点评]因为有了上面的用作图象法解方程组,在这里,学生就会自觉地从函数的角度探究方程的问题,初步具有了数形结合的意识和能力。

五.   课后小结

    本节课我们通过操作和思考,揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系,从而引入二元一次方程组的图象解法,同时也建立了“数”----二元一次方程与“形”------函数图象之间的对应关系,培养了学生初步的数形结合的意识和能力。

 

 

六.   作业

1.    用作图象法解方程组2x+y=4

                     2x-3y=12

        2.如图,直线L、L相交于点 A,试求出A点坐标。

 

        

         

教学反思

 这节课由故事引入,激发了学生极大的学习兴趣。然后提出了三个尖锐的问题,让学生尝试探索,在探索中既体会到了探索的艰辛,又体会到了成功的喜悦。在应用和引申过程中,尽量让学生自主的发现问题,自主的解决问题。学生在紧张、愉快中完成了这节课的学习。