【第六册函数的图象】 反函数公式大全

教学目标

(一)知道函数图象的意义;

(二)能画出简单函数的图象,会列表、描点、连线;

(三)能从图象上由自变量的值求出对应的函数的近似值。

教学重点和难点

重点:认识函数图象的意义,会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。

难点:对已恬图象能读图、识图,从图象解释函数变化关系。

教学过程设计

(一)复习

1.什么叫函数?

2.什么叫平面直角坐标系?

3.在坐标平面内,什么叫点的横坐标?什么叫点的纵坐标?

4.如果点A的横坐标为3,纵坐标为5,请用记号表示A(3,5).

5.请在坐标平面内画出A点。

6.如果已知一个点的坐标,可在坐标平面内画出几个点?反过来,如果坐标平面内的一个点确定,这个点的坐标有几个?这样的点和坐标的对应关系,叫做什么对应?(答:叫做坐标平面内的点与有序实数对一一对应)

(二)新课

我们在前几节课已经知道,函数关系可以用解析式表示,像y=2x+1就表示以x 为自变量时,y是x的函数。

这个函数关系中,y与x的函数。

这个函数关系中,y与x的对应关系,我们还可通知在坐标平面内画出图象的方法来表示。

具体做法是

第一步:列表。(写出自变量x与函数值的对应表)先确定x的若干个值,然后填入相应的y值。

函数式y=2x+1

自变量x

-2

-1

0

1

2

函数值y

-3

-1

1

3

5

(这种用表格表示函数关系的方法叫做列表法)

第二步:描点,对于表中的每一组对应值,以x值作为点的横坐标,以对应的y值作为点的纵坐标,便可画出一个点。也就是由表中给出的有序实数对,在直角坐标系中描出相应的点。

第三步     连线,按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用线段连结起来,得到的图形就是函数式y=2x+1的图象。图13-24

例1          在同一直角坐标系中画出下列函数式的图象:

(1)y=-3x;(2)y=-3x+2; (3)y=-3x-3

分析:按照列表、描点、连线三步操作。

解:

函数式(1)y=-3x

自变量x

-2

-1

0

1

2

函数y

6

3

0

-3

-6

 

函数(2)y=-3x+2

自变量x

-2

-1

0

1

2

函数y

8

5

2

-1

-4

 

 

 

函数(3)y=-3x-3

自变量x

-2

-1

0

1

2

函数y

3

0

-3

-6

-9

它们的图象分别是图13-25中的(1)(2)(3)。

例2     某化工厂1月到12月生产某种产品的统计资料如下:

X/月份

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Y/产品吨数

2

3

3

4

5

6

6

6

5

4

5

7

(1)在直角坐标系中以月份数作为点的横坐标,以该月的产值作为点的纵坐标画邮对应的点。把12个点画在同一直角坐标系中。

(2)按照月份由小到大的顺序,把每两个点用线段连接起来。

(3)解读图象:从图说出几月到几月产量是上升的、下降的或不升不降的。

(4)如果从3月到6月的产量是持逐平稳增长的,请在图上查询4月15日的产量大约是多少吨?

解:(1),(2)见图13-26

(3)产量上升:1月到2月;3月,4月,5月,6月逐月上升;10月,11月,12月逐月上升。

产量下降:8月到9月,9月到10月。

产量不升不降:2月到3月;6月到7月,7月到8月。

(4)过x轴上的4.5处作y轴的平行线,与图象交于点A,则点A的纵坐标约4.5 ,所以4月15日的产量约为4.5吨。

(三)课堂练习

已知函数式y=-2x。用列表(x取-2,-1,2,1,2),描点,连线的程序,画出它的图象。

(四)小结

到现在,我们已经学过了表示函数关系的方法有三种:

1.解析式法——用数学式子表示函数的关系。

2.列表法——通过列表给出函数y与自变量x的对应关系。

3.图象法——把自变量x作为点的横坐标,对应的函数值y作为点的纵坐标,在直角坐标系内描出对应的点,所有这些点的集合,叫做这个函数的图象。用图象来表示函数y与自变量x对应关系。

这三种表示函数的方法各有优缺点。

1.用解析法表示函数关系

优点:简单明了。能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系,并且适合进行理论分析和推导计算。

缺点:在求对应值时,有时要做较复杂的计算。

2.用列表表示函数关系

优点:对于表中自变量的每一个值,可以不通过计算,直接把函数值找到,查询时很方便。

缺点:表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出,而且从表中看不出变量间的对应规律。

3.用图象法表示函数关系

优点:形象直观,可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质,把抽象的函数概念形象化。

缺点:从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值。

函数的三种基本表示方法,各有各的优点和缺点,因此,要根据不同问题与需要,灵活地采用不同的方法。在数学或其他科学研究与应用上,有时把这三种方法结合起来使用,即由已知的函数解析式,列出自变量与对应的函数值的表格,再画出它的图象。

(五)作业

1.在图13-27中,不能表示函数关系的图形有()

(A)(a),(b),(c)  (B)(b),(c),(d) (C)(b),(c),(e)   (D)(b),(d),(e)

 

 

 

 

 

2.函数y= 的图象是图13-28中的(  )

 

 

 

 

 

3.矩形的周长是12cm,设矩形的宽为x(cm),面积为y(cm2).

(1)             以x为自变量,y为x的函数,写出函数关系式,并在关系式后面注明x的取值范围;

(2)             列表、描点、连线画出此函数的图象

4.(1)画出函数y=- x+2的图象(在-4与4之间,每隔1取一个x值,列表;并在直角坐标系中描点画图);

(2)判断下列各有序实数对是不是函数。Y=- x+2的自变量x与函数y的一对对应值,如果是,检验一下具有相应坐标的点是否在你所出的函数图象上:

(-2,2 ),  (- ,2 ),    (-1,3), ( ,1

5.画出下列函数的图象:

(1)y=4x-1; (2)y=4x+1

6.图13-29是北京春季某一天的气温随时间变化的图象。根据图象回答,在这一天:

(1)8时,12时,20时的气温各是多少;

(2)最高气温与最低气温各是多少;

(3)什么时间气温最高,什么时间气温最低。

7.画出函断y=x2的图象(先填下表,再描点,然后用平滑曲线顺次连结各点):

X

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.画出函数y= 图象(先填下表,再描点,然后用平滑曲线顺次连结各点):

X

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

作业的答案或提示

1.              选(C),因为对应于x的一个值的y值不是唯一的。

2.              选(D)当x<0时, =-x,所以y= = =-1,当x>0时, =x,所以y= = =1

3.

(1)y=x(6-x)其中0<x<6,(图13-30)。

(2)

 

X

0

1

2

3

4

5

6

y

0

5

8

9

8

5

0

 

 

4.

 

Y=- x+2

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

3

3

2

2

2

1

1

1

经过检验,点(- ,2 )及点( ,1 )在所画的函数图象上。

 

 

5.

Y=4x-1

X

-2

-1

0

1

2

y

-9

-5

-1

3

7

 

Y=4x+1

x

-2

-1

0

1

2

y

-7

-3

1

5

9

 

 

 

6.(1)8时约5℃,20时约10℃。(2)最高气温为12℃,最低气温为2℃。(3)14时气温最高,4时气温最低。

 

 

 

 

7.

Y=x2

X

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

4

2.25

1

0.25

0

0.25

1

2.25

4

 

 

8.

Y=

X

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

y

-1

-

-

-2

-3

-6

 

6

3

2

1

 

 

 

课堂教学设计说明

1.在建立平面直角坐标系后,点的坐标(有序实数对)与坐标平面内的点一一对应;不同的坐标与不同的点一一对应;函数关系与动点轨迹一一对应,把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来,通过解读图象,了解抽象的数量关系,这种“数形结合”,是数学中的一种重要的思想方法。

2.本课的目标是使学生会画函数图象,并会解读图象,即会从图象了解到抽象的数量关系。为此,先在复习旧课时,着重提问坐标平面上的点与有序实数对一一对应,接着在新课开始时介绍了画函数图象的三个步骤。

3.教学设计中的例3,既训练学生从已数据画图象,又训练学生逆向思维、解读图象、在图象上估计某日产量的能力,对函数图象功能有一个完整的认识。

4.在小结中,介绍了函数关系的三种表示方法,并说明它们各自的优缺点,有利于对函数概念的透彻理解。

5.作业中的第1-3题,对训练函数图象很有帮助。

第1题,目的要说明,对于x的一个值,y必须是唯一的值与之对应,而(b)(c)(e)都是对于x一个值,y有不止一个值与之对应,所以y不是x的函数,本题还训练解读图形的能力。

第2题,训练学生分类讨论的数学思想,在去掉绝对值符号时,必须分x≥0与x<0讨论。

第3题,训练学生根据已知条件建立函数解析式,并列表、描点、连线画出图象的能力,这些都是学习函数问题时应具备的基本功。