圆的内接四边形:圆的内接四边形的性质


1. 知识结构

日立彩票  2. 重点、难点分析

日立彩票  重点:圆内接四边形的性质定理.它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理,同时也是转移角的常用方法.

  难点:定理的灵活运用.使用性质定理时应注意观察图形、分析图形,不要弄错四边形的

  外角和它的内对角的相互对应位置.

  3. 教法建议

日立彩票  本节内容需要一个课时.

  (1)教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境(参看教学设计示例),组织学生自主观察、分析和探究;

  (2)在教学中以“发现——证明——应用”为主线,以“特殊——一般”的探究方法,引导学生发现与证明的思想方法.

一、教学目标

  (一)知识目标

  (1)了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念;

  (2)掌握圆内接四边形的概念及其性质定理;

  (3)熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明.

  (二)能力目标

日立彩票  (1)通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究,培养学生观察、分析、概括的能力;

  (2)通过定理的证明探讨过程,促进学生的发散思维;

  (3)通过定理的应用,进一步提高学生的应用能力和思维能力.

  (三)情感目标

  (1)充分发挥学生的主体作用,激发学生的探究的热情;

  (2)渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.

  二、教学重点和难点:

  重点:圆内接四边形的性质定理.

日立彩票  难点:定理的灵活运用.

  三、教学过程设计

  (一)基本概念

  如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆日立彩票.如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形,而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆.

  (二)创设研究情境

  问题:一般的圆内接四边形具有什么性质?

  研究:圆的特殊内接四边形(矩形、正方形、等腰梯形)

日立彩票  教师组织、引导学生研究.

日立彩票  1、边的性质:

日立彩票  (1)矩形:对边相等,对边平行.

  (2)正方形:对边相等,对边平行,邻边相等.

日立彩票  (3)等腰梯形:两腰相等,有一组对边平行.

  归纳:圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质.

  2、角的关系

  

  猜想:圆内接四边形的对角互补.

 (三)证明猜想

日立彩票  教师引导学生证明.(参看思路)

  思路1:在矩形中,外接圆心即为它的对角线的中点,∠A与∠B均为平角∠BOD的一半,在一般的圆内接四边形中,只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连,能得到什么结果呢?

  ∠A= ,∠C=

  ∴∠A+∠C=

日立彩票  思路2:在正方形中,外接圆心即为它的对角线的交点.把圆心与各顶点相连,与各边所成的角均方45°的角.在一般的圆内接四边形中,把圆心与各顶点相连,能得到什么结果呢?

日立彩票  这时有2(α+β+γ+δ)=360°

  所以  α+β+γ+δ=180°

日立彩票  而    β+γ=∠A,α+δ=∠C,

  ∴∠A+∠C=180°,可得,圆内接四边形的对角互补.

  (四)性质及应用

  定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任意一个外角等于它的内对角.

  (对A层学生应知,逆定理成立, 4点共圆)

  例  已知:如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,经过A的直线与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.过B的直线与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F.

日立彩票  求证:CE∥DF.

  (分析与证明学生自主完成)

  说明:①连结AB这是一种常见的引辅助线的方法.对于这道例题,连结AB以后,可以构造出两个圆内接四边形,然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决.

  ②教师在课堂教学中,善于调动学生对例题、重点习题的剖析,多进行一点一题多变,一题多解的训练,培养学生发散思维,勇于创新.

  巩固练习:教材P98中1、2.

  (五)小结

日立彩票  知识:圆内接多边形——圆内接四边形——圆内接四边形的性质.

日立彩票  思想方法:①“特殊——一般”研究问题的方法;②构造圆内接四边形;③一题多解,一题多变.

  (六)作业:教材P101中15、16、17题;教材P102中B组5题.

探究活动

日立彩票  问题: 已知,点A在⊙O上,⊙A与⊙O相交于B、C两点,点D是⊙A上(不与B、C重合)一点,直线BD与⊙O相交于点E.试问:当点D在⊙A上运动时,能否判定△CED的形状?说明理由.

日立彩票  分析  要判定△CED的形状,当运动到BD经过⊙A的圆心A时,此时点E与点A重合,可以发现△CED是等腰三角形,从而猜想对一般情况是否也能成立,进一步观察可发现在运动过程中∠D及∠CED的大小保持不变,△CED的形状保持不变.

  

  提示:分两种情况

日立彩票  (1)当点D在⊙O外时.证明△CDE∽△CAD’即可

  (2)当点D在⊙O内时. 利用圆内接四边形外角等于内对角可证明△CDE∽△CAD’即可

  说明:(1)本题应用同弧所对的圆周角相等,及圆内接四边形外角等于内对角,改变圆周角顶点位置,进行角的转换;

日立彩票  (2)本题为图形形状判定型的探索题,结论的探索同样运用图形运动思想,证明结论将一般位置转化成特殊位置,同时获得添辅助线的方法,这也是添辅助线的常用的思想方法;

  (3)一般地,有时对几种不同位置图形探索得到相同结论,但不同位置的证明方法不同时,也要进行分类讨论.本题中,如果将直线BD运动到使点E在BD的反向延长线上时,
△CDE仍然是等腰三角形.